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Series y Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) en un cierto orden.

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita

Ejemplos:

{1,2,3,4...} Es una sucesión muy simple, y es una sucesión infinita

{20,25,30,35...} También es una sucesión infinita.

{1,3,5,7..} Es la sucesión de números impares, y es infinita.

{4,3,2,1} Va de 4 a 1 hacia atrás.

{1,2,4,8,16,32...} Es una sucesión inifnita en donde vamos multiplicando cada término.

{a,b,c,d,e} Es la sucesión de las letras del abecedario, y es finita.

{a,l,f,r,e,d,o} Es la sucesión del nombre "Alfredo", y es finita.

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} Es la sucesión que alterna 0s y 1s. Siguen un orden, en este caso un orden alternativo

Cuando decimos que los términos están "en orden", nosotros somos los que decimos qué orden. Podría ser adelante, atrás, alternando, siempre y cuando siga el mismo orden toda la sucesión.

Conjuntos y Sucesiones

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, a diferencia que los términos están en orden; en los conjuntos el orden no importa, además de que el mismo valor puede aparecer muchas veces, mientrás que en los conjuntos solo una vez.

Por ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería solo {0,1}

Las secuencias también usan la misma notación que los conjuntos, se enumera cada elemento, separados por una coma, y luego se ponen llaves alrededor de todo. {3, 5, 7, ...}

Reglas

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez.

Pero la regla debería ser una fórmula. Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el 10º o 100º termino.

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n".

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla a 2n+1 y funciona.

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente "xn" es el término, y "n es la posición de ese término

Entonces podemos escribir una regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética, porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

En general, podemos escribir una sucesión aritmética de esta forma: {a, a+d, a+2d, a+3d, ... }

Donde a es el primer término, y d es la diferencia entre los términos, llamada "diferencia común"

Y podemos establecer la regla: xn = a + d(n-1). Usamos "n-1" porque la d no se usa en el primer término.

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por una constante.

Por ejemplo: {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...}. Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos. La regla es xn = 2n.

En general, podemos escribir una sucesión geométrica de esta forma: {a, ar, ar2, ar3, ... } donde: a es el primer término, y r es la proporción entre cada par de términos, llamada "razón común".

Nota: r no puede ser 0. Cuando r=0, obtenemos la sucesión {a,0,0,...}, la cual no es geométrica.

Y la regla es: xn = ar(n-1). Usamos "n-1" porque ar0 es el 1er término

Números triangulares

La Sucesión Triangular se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión. Pero es más fácil usar la regla: xn = n(n+1)/2

Ejemplo: El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición en la sucesión. {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... }

La regla es xn = n^2

Número cúbicos

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. {1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...}

La regla es xn = n3

Números de Fibonacci

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. El 2 se calcula sumando los dos antes de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos antes de él (8+13)

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}

La regla es xn = xn−1 + xn−2

Ejemplo: el 6º término se calcularía así: x6 = x6−1 + x6−2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Series y sumas parciales

Cuando sumamos solo una parte de la sucesión decimos que hacemos una suma parcial.

Pero una suma de una sucesión infinita se llama "serie", parece como si fuera otro nombre para las sucesiones, pero en realidad es una suma.

Ejemplo: Números impares: Sucesión: {1, 3, 5, 7, ...}, Serie: 1 + 3 + 5 + 7 + ..., Suma parcial de los primeros tres términos: 1 + 3 + 5

Actividad. Responde las siguientes preguntas.

Recuerda revisar las respuestas de las preguntas abiertas al final de está página.

1. ¿Cuál de las siguientes sí es una sucesión infinita?

2. La sucesión {3, 5, 7, 9, ...} tiene como regla:

3. En una sucesión aritmética, ¿qué es la "diferencia común"?

4. La fórmula general de una sucesión aritmética es:

5. En una sucesión geométrica, cada término se obtiene:

Una vez que des click a este botón, los reactivos se cerraran y no podrás cambiar tu respuesta.

6. ¿Cuál es la diferencia entre un conjunto y una sucesión?

7. ¿Qué diferencia hay entre una sucesión infinita y una finita?

8. Escribe los primeros 5 términos de la sucesión Xn = 2n+1

9. Escribe los primeros 6 números de Fibonacci.

10. ¿Qué diferencia hay entre una sucesión aritmética y una geométrica?

¿Sigues teniendo dudas?

Te recomendamos visitar el siguiente material para mayor conocimiento o entendimiento sobre el tema:

Respuestas de las preguntas abiertas:

6. En un conjunto el orden no importa y no se repiten elementos; en una sucesión el orden importa y los términos pueden repetirse.

7. La sucesión infinita no termina nunca, la finita tiene un número limitado de términos.

8. {3, 5, 7, 9, 11}

9. {0, 1, 1, 2, 3, 5}

10. En la aritmética se suma siempre una cantidad fija; en la geométrica se multiplica por una constante.

Referencias:

1. Sucesiones y series. (s. f.). https://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html https://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

2. Sucesiones y Series: Explicación con Ejemplos | StudySmarter. (s. f.-b). StudySmarter ES. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/sucesiones-y-series/#:~:text=%C2%BFQu%C3%A9%20son%20las%20sucesiones%20y,algunos%20t%C3%A9rminos%20de%20la%20sucesi%C3%B3n. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/sucesiones-y-series/#:~:text=%C2%BFQu%C3%A9%20son%20las%20sucesiones%20y,algunos%20t%C3%A9rminos%20de%20la%20sucesi%C3%B3n.

3. Khan Academy. (s. f.-b). https://es.khanacademy.org/math/aritmetica-pe-pre-u/xce51e392da300f11:sucesiones-y-series https://es.khanacademy.org/math/aritmetica-pe-pre-u/xce51e392da300f11:sucesiones-y-series

4. Universidad Nacional de Rosario. (s. f.). Análisis Matemático III: Apunte sobre sucesiones y series numéricas y de funciones. https://www.fceia.unr.edu.ar/~ptorres/AnMatIII/ApunteSucesionesSeries.pdf https://www.fceia.unr.edu.ar/~ptorres/AnMatIII/ApunteSucesionesSeries.pdf

5. Daniel Carreón. (2016, 25 julio). SUCESIONES  Super facil [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg

6. Profe Bonny. (2020, 27 febrero). DIFERENCIA ENTRE SUCESION y SERIE. [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=exkbkpa9BhI https://www.youtube.com/watch?v=exkbkpa9BhI

7. MateFacil. (2021, 22 junio). 14. Series explicadas desde cero [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=O16aIAWipTU https://www.youtube.com/watch?v=O16aIAWipTU