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El cálculo es una parte de las matemáticas que se divide en cálculo diferencial y cálculo integral. Sirve para estudiar el movimiento o el cambio que experimentan determinadas variables.
Esta es la esencia del cálculo y es fundamental en un mundo que está cambiando permanentemente, pues la única constante que tenemos en el universo es justamente el cambio.
El cálculo como rama de la matemática, se originó en la antigua Grecia con el objeto de estimar la magnitud de los cambios en las variables, determinar longitudes, áreas, volúmenes, entre otros.
Esta área de la matemática fue evolucionando hasta convertirse en una disciplina moderna atribuyendo los nuevos aportes a los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes se les reconoce el teorema fundamental de cálculo, específicamente el cálculo infinitesimal dedica al estudio de los límites, las derivadas, series infinitas y las integrales, siendo llamada esta última como calculo integral.
El cálculo, también llamado cálculo infinitesimal, es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio del cambio continuo.
También es una parte del análisis matemático que estudia cómo cambian las funciones continuas según sus variables cambian de estado. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee).
El cálculo nos permite estudiar, entre otras cosas, la ubicación, el volumen, el área y la velocidad.
Estudiar la posición de las cosas: En términos de ubicación, no hay ningún problema en determinar dónde se ubica algo que está fijo; pero ¿qué sucede cuando se generan cambios en la posición?
Por ejemplo, cuando un objeto está moviéndose en ruta perpendicular con respecto a otro objeto. Esto representa cierta dificultad de análisis que tiene respuestas gracias al cálculo diferencial.
Estudiar el volúmen: Suponiendo que tenemos una esfera cuyas dimensiones están cambiando constantemente, ¿cómo podríamos analizar su volumen sin mayores problemas? Con el cálculo.
Estudiar el área: Resulta fácil determinar el área que ocupa un objeto ubicado en la superficie de una mesa, pero qué tal que ese objeto se está expandiendo.
Gracias al cálculo podríamos analizar esta superficie que se encuentra en expansión.
Estudiar la velocidad: Puede resultar sencillo determinar la velocidad de un objeto cuando su movimiento se mantiene a una velocidad constante.
Pero, por ejemplo, el cálculo sirve para determinar la velocidad de un auto que se desplaza de una ciudad a otra, teniendo en cuenta semáforos, embotellamientos del tráfico y otros factores que hacen que la velocidad se encuentre en permanente variación.
El cálculo integral es una rama del cálculo que se centra en el estudio de las integrales y sus aplicaciones. Una integral es un concepto matemático que representa el área bajo una curva en un intervalo dado.
El cálculo integral se utiliza para resolver problemas que involucran cantidades que varían de manera continua, como la velocidad de un objeto en movimiento, el área bajo una curva, el volumen de un sólido tridimensional, entre otros.
El cálculo integral se basa en el concepto de límite y en la suma de infinitos elementos infinitesimales. Se utiliza para encontrar áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centros de masa, momentos de inercia, entre otros. Además, tiene aplicaciones en diversas áreas como la física, la ingeniería, la economía y la biología, entre otras.
Símbolo de la integral: La integral se denota comúnmente con el símbolo ∫, que proviene del latín sumatoria. La notación completa incluye la función a integrar, los límites de integración y el elemento diferencial, por ejemplo:
Función a integrar: La función que se está integrando es el elemento central de la integral. Puede ser una función continua o discontinua en el intervalo de integración.
Elemento diferencias: Este es el diferencial de la variable de integración. En una integral definida, se multiplica la función por este elemento diferencial. Comúnmente se denota como dx en una integral con respecto a x, dy en una integral con respecto a y, etc.
Estos son los elementos que conforman una integral indefinida, adicionalmente, una integral indefinida que será un tema más avanzado del cálculo integral, también incluyen los límites de integración.
Al resolver una integral obtendremos la función primitiva, también llamada antiderivada, es decir, que dada una función f(x) se debe encontrar su primitiva F(x) cuya derivada sea igual a f(x);
Es de acotar que existen algunas funciones f(x) que satisfacen esta relación, por esta razón se dice que la integral es indefinida, pero si se registran ciertas condiciones para F’(x) donde convierta a la función en única la integral se considera como integral definida, interpretándose de forma geométrica a dicha integral como el área comprendida entre el eje X, la gráfica de la función o curva y las ordenadas delimitada por dos valores de X (b,a) denominados límite superior y límite inferior respectivamente.
El formulario de integrales nos presenta un lista de integrales con sus respectivos resultados, algunos de ellos son integrales inmediatos, es decir, integrales que no requieren aplicar ningún método de integración porque son muy sencillas. Este formulario facilita la resolución de ejercicios donde las funciones presentan una estructura compleja.
Las formulas más usadas son las siguientes:
Click Aquí para descargar la tabla de formulas.
Existen dos teoremas fundamentales que debemos conocer y comprender dentro del estudio del calculo integral como son:
Teorema fundamental del cálulo: Consiste intuitivamente en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Teorema del valor medio: Establece que si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que f'(c) es igual a la razón de cambio promedio de la función en [a,b].
Además de integrales definidas e indefinidas, existen otras a estudiar como:
Integrales impropias: Son integrales que presentan una asíntota vertical en el intervalo de integración, o cuyo intervalo de integración no se encuentra limitado.
Integrales de líneas: Son aquellas cuya función es evaluada sobre una curva.
Integrales trigonométricas: Aquella cuyo integrado se compone de funciones trigonométricas y constantes entre la que se encuentran la integral del seno, integral del coseno, integral de la tangente e integral de la secante.
Integrales multiples: Se encuentran los integrales dobles y los integrales triples.
Integral iterada: Es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable.
El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que ha desempeñado un papel crucial en la comprensión y descripción de una amplia gama de fenómenos en la ciencia, la ingeniería y más allá.
El cálculo diferencial se centra en el estudio de las tasas de cambio y cómo las funciones varían de manera instantánea en puntos específicos. Su enfoque principal es el concepto de derivada, que proporciona una medida precisa de la velocidad con la que una cantidad cambia en relación con otra.
El cálculo diferencial nos permite comprender cómo se comportan las funciones cuando se analiza su cambio infinitesimal en una variable. Se convierte en una herramienta invaluable en la modelización y resolución de problemas del mundo real, desde la física y la economía hasta la biología.
La derivada, elemento fundamental del cálculo diferencial, nos ofrece una perspectiva instantánea sobre cómo evoluciona una función en un punto específico. Además, la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de una recta tangente a una curva refleja la conexión profunda entre el cálculo y la geometría.
Se entiende por derivada de una función, a la razón del cambio instantánea con la cual varía el valor de dicha función de acuerdo al valor de su variable independiente, por ende, se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
La derivada de una función desde el punto de vista de la geometría, no es mas que la pendiente de la recta tangente de la función f(x), por tanto se le define tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Por definición se dice, que la derivada de una función y=f(x) con respecto a x en un punto (a) es:
Expresado de otra forma, la derivada de una función, es el límite que hay entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente cuando tiende a cero
La derivada de y=f(x)> con respecto a «x» >puede denotarse de varias formas:
d/dx y; dy/dx; y´; f´(x); d/dx f(x)
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Los campos de aplicación de esta disciplina son muy amplios, pues su utilidad se extiende a una gran variedad de situaciones, tales como la medicina, astronomía, física, ingeniería, estadística, computación, negocios, demografía.
A través del cálculo se puede llegar a respuestas muy importantes en cada campo, por ejemplo:
En medicina, revela el recorrido de los medicamentos en el tiempo.
Astronomía lo emplea para dirigir satélites hacia asteroides cercanos.
Física lo aplica para medir con precisión distancias, velocidades y aceleraciones.
Estadística lo utiliza para definir distribuciones de probabilidad con exactitud.
En computación, se despliega para analizar animaciones con detalle.
En negocios, calcula los costos después de producir x unidades.
Demografía lo utiliza para identificar cambios en la dinámica poblacional.
Estos son solo ejemplos sencillos que nos ilustran el gran alcance y utilidad del cálculo, y así como estos casos, existen muchísimos más. El cálculo está presente en prácticamente todos los aspectos de nuestra vida.
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Te recomendamos visitar el siguiente material para mayor conocimiento o entendimiento sobre el tema:
1. ¿Qué es el cálculo? 2. Cálculo7. En el estudio de las integrales y sus aplicaciones.
8. Símbolo de la integral, función a integrar, y elemento diferencias.
9. Impropias, de líneas, trigonométricas, multiples, iterada.
10. Las derivadas
Referencias:
1. Platzi. (2025, 28 enero). ¿Para qué sirve el cálculo? [Vídeo]. /Clases/2612-calculo-diferencial/43598-para-que-sirve-el-calculo/. https://platzi.com/clases/2612-calculo-diferencial/43598-para-que-sirve-el-calculo/#:~:text=%C2%BFQu%C3%A9%20es%20el%20c%C3%A1lculo%3F,sus%20variables%20cambian%20de%20estado.
2. Cálculo - ferrovial. (2022, 2 noviembre). Ferrovial. https://www.ferrovial.com/es/stem/calculo/#:~:text=En%20su%20sentido%20m%C3%A1s%20general,variables%20simbolizadas%2C%20conocidas%20con%20antelaci%C3%B3n.
3. Calculointegral.com. (2024, 2 febrero). Cálculo integral: definiciones y conceptos fundamentales. https://calculointegralweb.com/
4. Calculo diferencial: Definiciones y conceptos básicos ⇐. (2024, 12 febrero). Calculodiferencial.com. https://calculodiferencial.com/
5. BlueDot. (2023, 1 febrero). ¿Por qué el CÁLCULO lo CAMBIO TODO? 🚀 🚀 | INTRODUCCIÓN al CALCULO en 10 MINUTOS ⌚⌚ [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=FHLsTqxW9uc
6. BlueDot. (2023b, noviembre 10). ESTO es lo que NECESITAS SABER de CALCULO I ⌚▶FUNCIONES, LIMITES, DERIVADAS E INTEGRALES [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=rvE1QRZuK0I
7. El Físico Gamer. (2021, 19 enero). Curso de cálculo diferencial desde cero - Parte 1 [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=ZSYQ13iMbYA
8. Cálculo. (s. f.). Material Didáctico - Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/